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有限和无穷
数学和下棋有什么关系？
很多人都认为是有关系的，在一些小学中，听说是要挑选会下棋的孩子，
老师就会挑选那些在算术考试中得了 100分的孩子，以为那样的孩子是能下棋
的。这些孩子中的一些成了有名的棋手，大家就会误解，数学和下棋是有必然
联系的。
在1997年 8月末，世界棋王卡尔波夫来到中国，中央电视台的《体育漫谈
》节目，还让这位国际象棋的超级大师谈谈下棋和数学的关系。
问：你小时候是不是数学特别好？下棋和数学有什么关系没有？
答：数学和象棋，在逻辑上是有联系的，但是要从具体上来说又是很难的。
棋手中很多是毕业于高等学校，但是学数学很高深的还不多。我本人在学习上，
是经过了一个过程的。我是从数学进入到机械，又从机械进入到经济，最后，
我是从圣彼得堡大学获得了经济学博士的学位。
类似卡尔波夫这样的回答，我已在围棋手中间听到过多次。特别是对电脑
有研究的俞斌九段，就一直被问到这样的问题。中国围棋手的回答，和这位国
际象棋超一流棋手的回答不会有什么两样。俞斌的说法是，“围棋的计算和数
学的计算是不同的。”想要在一局围棋比赛中，下出什么“勾股定理”或者“
三元两次方程”或者“歌德巴赫猜想”，这都是很可笑的事情。一个小学生的
数学成绩好，其综合素质，可能要比成绩不好的孩子要好一些，这是素质中的
一部分，就可能是适宜下棋的。但是，我们不能说，数学不好的孩子，是下不
好棋的。至少，在中国古代，还没有数学这样的一门学科，科学技术在中国，
是士大夫们看不起的。那些棋手在少年时代，是不能从数学上去发现才能的。
围棋的“计算”这一个概念是比较抽象的。就和象棋的计算一样，大多数
是在看我走什么，对手会应什么。无论是卡尔波夫还是胡荣华，在下棋的时候
的一个习惯的动作，都是有一个不断微微的点头动作，这个动作是很有节奏的，
这是大师在计算他们的一步步的棋。然后，他们有一个较长时间的停顿，他们
依然在思考。在思考这样走了之后，会形成什么样的局面，对谁有利。然后，
又开始了一个微微点头的动作，这是又开始了一种新的思路。
围棋或者只需要最简单的数学的计算，那就是加减乘除。这是为了点“目
”的，但是在更多的前半盘的比赛中，计算是有一点抽象的，虽然是仍然用目
来做单位，但是，这种计算，是有很多的不确定的因素的。一手棋的价值有多
少，这还是一个没有定论的事，这也是电脑围棋还没有获得很大进展的原因。
要说清这个问题，是要有数学家来发言的。好在从古到今，有不少数学家
或科学家是棋迷。
第一位数学家的话，让我们大吃一惊。
他是唐朝的一行和尚，他也是一位天文学家。在中国的历史上，有“畴人
”这一个名称，可以统称天文学家和数学家。一行就是最有成就的“畴人”之
一。他精通历法，重新测定了 150多颗恒星的位置，发起在全国12个地点进行
天文观测；并且归算出相当子午纬线的长度。这是现代人对他的评价。中国以
前的数学总是和天文联系在一起的，迎合封建制度，数学是不需要的，而天文
是需要的。中国是以农业立国的，天文就非常重要。而数学只不过是为了天文
而存在的副产品。天文在过去的年代，又经常和迷信在一起，每一颗星都有象
征的意义。数学就有一点神秘了。数学家也会成为无所不知的能人了。
他对围棋的评论是有一点贬义的：
一行本不解弈，因会燕公宅，观王积薪一局，遂与之敌。笑谓燕公曰：此
但争先耳，若念贫道四句乘除语，则人人可为国手。
看来，一行确实是个不简单的人。他就看了一局棋，就能学会下棋，而且，
立刻就能够和当时棋下的最好的王积薪成为敌手。但是，这样的描写是站不住
脚的。破绽就在后面，一行在评论围棋的时候，出现了一点问题。他的话前一
句非常正确，围棋就是争先。就是在比赛中永远不失去主动。这是常识性的判
断，知道的人太多了，也就会成为一句没有意义的话。在后半句中，围棋就变
成一种太简单的游戏了。一种游戏能用四句口诀就能解决，那么，比赛就会像
解一道代数式，棋局就不会有很多的变化，这是和围棋的实情不同的。和历史
上知识分子推崇围棋的潮流不同，一行是在贬低围棋。
一行在自己的专业上无疑是有权威的，但是，他不会在任何的地方都是权
威。在夜空中找到一颗星星，并且确定它的位置，对一行并不很难。而在棋盘
上和王积薪对抗，对一行来说，却不会是一件容易的事。如果要拿出怀疑的证
据，那么，除了《酋阳杂记》之外，没有对此事的记载。另外，这样有效的棋
诀，只短短的四句，竟然没有流传下来。因而在世界上直到今天，“国手”还
是凤毛麟角。
无独有偶，南宋的哲学家陆九渊躺在床上，将一个棋盘挂在墙上，一连看
了两天，突然跳起来说，这不是河图吗？于是他的下棋水平，立刻可以让林安
的高手一先。“河图”实际上是一种数字的排列方式，在现代，是没有一个专
业棋手会认为河图中会有围棋的秘密的。
或许，这都不是真的，而是有人用围棋和一行和陆九渊开了个玩笑。这样
发表出来的观点，是有一点离谱，很难叫人感到有研究的价值。
顺便说一句，古代的人们可能以为棋下得好，不是长期努力的结果。就连
唐朝的第一高手王积薪的高超棋艺，也是在很短的时候获得的。
《云仙杂记》：王积薪梦青龙吐棋经九卷授己，其艺顿精。
《集异记》：王积薪从明皇幸蜀，夜宿深山，闻妇姑对谈。天明，积薪具
礼以问，妇姑教以攻守、杀夺、救应、防守之法，从此天下无敌。
这是对围棋的拔高，以为围棋手之上，还有神，世上最好的棋手，是不能
战胜神仙中的妇女的。这从科学的角度，也是很难有研究的价值的。在另一种
传说中，还有她们在晚上用“口谈”的方法下棋的描写。有人将当夜这婆媳俩
的对局头几手，放到了棋盘上，一看大吃一惊。这样的布局，是当代的高手也
难理解的，看来确实是“仙人”所为。
贬低和拔高都是离开了生活的真实，离开了围棋的真实。
明朝才子王世贞写了一篇《弈问》，专门回答关于围棋的种种疑而未决的
问题。上面的问题恰巧都在他的“研究范围”之中。
在回答一行和尚的这几句话时，王说，这种情况是有的，一行是“神于数
”的人，神于数，是可以触类旁通的。但是“四语乘除人人国手”，是不可能
的。对于陆九渊的事，只不过是他的门徒借类似一行和尚的情节，来抬高老师
罢了。况且，陆九渊的棋实在是不够上品的。
在回答王积薪是否在山中学得了棋时，王说，可能是有的，但是，这不是
王积薪自己编出来抬高自己，而是别人在借神而贬低王积薪。你看，对王积薪
就教给攻守劫杀这样简单的东西，还说这人可以教给他“平常的形势”。这样
的说法，贬低王积薪是可以看出来的。
王世贞的观点，有一点客观性，可以参考。至少，对一行和尚和陆九渊的
评价中，对数学和围棋之间的“硬性的”联系做了否定。
北宋科学家沈括对围棋做了一番研究。沈括是科学上的一个杂家，他的建
树很多。他在数学上的成就，是创立了“隙积术”（二阶等差级数求和法）、
“会圆术”（已知圆的直径和弓形的高，求弓形的弦和弧长的方法）。
他在《梦溪笔谈》中，对围棋做了数学式表述。这在宋朝这一围棋十分兴
盛的时代，在众多的围棋评论中是独树一帜的。钱宝琮在《宋元数学史论文集
》中，认为沈括讨论围棋棋局的计算方法，是在古代的数学史上不可多得的宝
贵文献。钱先生看到了原文中的错误，一一加以校订。沈括的计算方法，用现
代的语言和算式说出来，就是：
每一个棋局，到终局时，每一个交叉点总是不外乎三种情况。黑、白、空。
所以，在计算全局的可能的变化时，是很容易的。不过，由于数字特别大，在
当时是没有办法将它说出来。
如果是方2路用4子，那么：
3^4=81
如果是方3路用9子，那么：
3^9=19683
方4路，那么：
3^16=43046721
方5路，那么：
3^25=847288609443
方6路，那么：
3^36=150094635296999121
下完一盘正常的棋，其可能的变化，是3^361，结果是“连书万字52个”。
这就是所有的变化了。
用现代的算法，是这样的：
logN = 361log3
= 361X0.47712
= 172.24075
N ≈ 1.74 X 10172
每 4位数可以写一个“万”，172÷4 = 43。
沈括在这里计算有错误，应当是“连书万字43个”。
后来，中科院的专家，用电脑算出总局数为：
1740896506590319279071882380705643679466027249502635411948281187
06801051676184649841162792889887149386120969888163207806137549871813
55093129514803369660572893075468180597603
这是一个天文数字。即使每一秒钟下一局棋，要下完这样多的局数，粗略的
计算，要5.52X10164年，这是一个 164位数，照沈括的写法，是要写41个万字。
能活这样长久的，大概只有太阳和地球了。
数学的计算，总是将最规矩的条件来作为计算的前提。这样的计算，就还有
不够周全的地方。这样大的数字，是没有办法用实践来验证是否能够穷尽围棋的。
一种意见是围棋是没有办法穷尽的。围棋还有打劫，还有大眼填满提空，整
盘棋黑白都摆满了之后，还可以用一枚棋将对方所有的棋全提起来，然后重新开
始。中国棋手马晓春比较倾向于这种意见。
另一种意见是，实际上的棋局，远远地少于这些数字。理由不外乎是，围棋
是两人在轮流对下，所以，在一般的情况下，是一半黑棋，一半白棋，或者是由
于提子而相差不多。又由于围棋要有眼才能生存，黑棋、白棋都不能占尽空格。
而一盘棋要能够分出胜负，一般来说，又要使黑白子各在 100手以上，这有使全
空格或大多数的空格是不可能的。更从棋型的角度来看，有很多是根本不可能出
现的。韩国的棋手刘昌赫认为，实际上的棋局是有穷尽的。有人认为，这一数字
在3120左右。
在这两种观点面前，静静想一想，是一点也不矛盾的。马晓春说的是一种数
学的模式，而刘昌赫说的是一种实战的情况。
但是，这种计算是一种凝固的计算，没有先后的次序，而在比赛中，先后的
次序是不能不看的。所以，同样的结果，可能会有不同的过程。
这样，另一种计算方式就会出来了。在第一步棋落下的时候，有 361种选择，
在第二步棋落下的时候，有 360种选择，……
这样的算式是：
361X360X359X358X357……X2X1
这样的算式称作是361的阶乘，写为“361！”。
说出来叫人惊讶，在头三步棋中，就有46655640种选择。
在我女儿升入大学的那一年，有一点空闲，她为我用对数计算了这一个“361!”，
用了整整两天。她在这 361个数中，分解出 71个质数，大致算出“361!”是一个
756位的大数，比 3^361要大得多！（日本曾计算出结果为 768位数）
不过，在专业棋手看来，这样的数字更是一个很虚的数。例如，开局的选择
是10多种，至多不会超过50种，没有一个人会将第一手放在“ 1.1”这样的位置
上的。而在对手和你的棋子纠缠在一起的时候，你能选择的点是不多的，你不会
离开这一战场，去空旷的地方下棋。
但是，这也是一种数学的模式。正像国际象棋的电脑，在比赛中，选择每一
步棋的时候，总是要扫描一遍所有的棋子，来做一比较。“深蓝”每秒有两亿次
的计算，但是，卡斯帕罗夫认为，他虽然只有每秒三步的计算速度，但每一步都
是有意义的。他的选择，只有十来种。而电脑的大多数的计算是浪费在那些“臭
棋和昏着”中的，而电脑是不得不作这样的全覆盖性的扫描的。
在采访《黑白之道》的时候，我曾到过中关村，见到了著名的数学家吴文俊。
记得那一天，北京正在下雪，就在这样的北方典型的环境中，听到了上海的本地
话。这使我这样一个常年在外奔波的人，感到一种特别的亲切。
他是国际公认的数学大家，他的“拓扑学”的研究成果，被冠于他的姓氏。
但是，他是一个棋迷。他说，在研究之余，是会去看围棋的电视的。他喜欢
听华以刚、程晓流和王元的讲棋。在家中，也有围棋和棋子。顺便说，在中国科
学院中，有不少的棋迷。当然，像吴先生这样的院士科学家兼棋迷，还是不多的。
问吴文俊对数学和围棋的关系，是干脆的一句话回答：围棋和数学无关。
他后来寄来了不少的资料，我已经将这些资料写入到上面的文章中去了。
在采访中，在电话中，在书信中，这位数学大家对围棋的一往情深是能够感
受到的。但是，他是现代的科学家，是崇尚科学的，他不愿意因为喜欢围棋而说
假话。在以下的“语录”中，你是能够了解他的观点的。恰巧，这就成为这一篇
文章的科学的总结。
对于沈括，我十分佩服，尤其是他不仅提倡而且亲身实践作科学试验，如果
这一点早能为人认识而跟上，中国早就成为科技大国了。但对《梦溪笔谈》中的
数学部分，则我不敢恭维，棋局的总局数更不值一提，对棋局的过分简单化，固
然不值一笑，计算也有错误，宋时笔算尚未传入（唐时虽传入而未受重视），沈
括想来只能用筹算，因而对 3^361这样的大数就很难计算，并且出错。对现在的
计算机则是轻而易举的。
关于棋理，有一个有趣的数学定理，计算机的创始人之一 Von Neumaun，也
是所谓博弈论或对策论的创立者，1994年的诺贝尔奖金得主，都是因应用博弈论
于经济学有贡献而得奖。Von Neumaun 的定理大意是说，两人博弈，胜负已定。
自然这要做数学上的说明，而且只是一个抽象的定理，与真正的棋局无关。
桥牌有深奥的数学理论，且有法国科学院士的专著，围棋我相信没有，以后
也很难会有，我个人的意见是：数学家不要在这上面浪费时间和精力。
但我对于计算机下棋还是有兴趣的，最近看报纸，计算机已有国际象棋的新
程序，打败了卡斯帕罗夫，还计划由计算机和卡斯帕罗夫作一系列比赛。但这主
要是程序编得好，计算机速度大大提高之故，与数学完全无关。
我家里的计算机有一个围棋的程序，我与计算机下过一次，计算机下起来很
有架势，但还是输给了我这个臭棋手，但从国际象棋的情况来看，编出一个较好
的围棋程序，用超高速度的计算机，要打败一个中低段位的围棋手，在近期内还
是可能的，但这仍与数学无关。
数学是要算的，围棋恰恰是不能算。数学的算和围棋的“算”是不一样的。
围棋要做到真正能够进行数学处理，首先要考虑建立数量的关系，说得简单一点，
就是要“定量”。没有这一步，就是难的。比如说围棋的子力，这枚子放在棋盘
上，位置高低，光说子的力量大或者小不成功，一定要讲子力的多少。
这样的表达方式，从现在看还非常遥远。
要实现围棋电脑与人的对弈，得等“定量”的问题解决。创造性的东西是无
法估计它的进程的。或许在几年中有人想出来，或许几百年也没有人想出来，这
东西很难说。但我相信，这东西十分难。
已故老作家竹可羽先生写了一篇文章，将三线作为边角线，四线为中腹线，
三线围住边角 136个交叉点（目），用去48枚子。由此可计算出每枚子的价值。
136目÷56=2.4286（边角线每个子的平均值）
121目÷48=2.5208（中腹线每个子的平均值）
中腹每一枚子的平均值大于边角线每个子的平均值0.09目，而棋盘的大小离
开19道，不论是往大还是往小，差数都会变大。这就是17道发展到19道的原因，
也正是19道不能发展到21道的原因。中腹与边角正好成为对抗的力量。
这才是真的数学。这里有几个原则先定下来，既要取势又要取地。这篇文章
论证的是边角占地多还是中间占地多，这里就有定量的问题。
今后谁在围棋上要突破，先得将问题简化，把不必要的东西删去，重要的保
留下来。简化之后再考虑。竹可羽先生就是把问题简化了，才使他的研究十分精
彩。
围棋对我的工作没有帮助，而且我的数学对围棋也没有帮助。
围棋和数学相像的是，数学经常假设一些什么，推测一些什么。如果假设很
多，结果很少，就没有什么意思。如果假设很少，推出的东西很多，这就有意思，
有价值了。围棋正是这样，它的规则十分简单，四面包围你就吃掉。而且有两个
眼就吃不掉，这在实际上是很深刻的，容易得到数学家的爱好。
数学和围棋是在各自的轨道中运转着。
数学和围棋都是对世界的理解和表述，不过用的不是相同的语言。
围棋中的数学问题，和下棋本身无关，这和国际象棋一样，可以说是“物以
类聚”。
难怪，数学家吴文俊，和国际象棋世界冠军卡尔波夫表述的，没有什么两样，
这真是“英雄所见略同”。
（全文完）
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